Question

已知函數f（x）=e^kx（k是不為零的實數，e為自然對數的底數）．

（1）若曲線y=f（x）與y=x²有公共點，且在它們的某一公共點處有共同的切線，求k的值；

（2）若函數h（x）=f（x）（x²﹣2kx﹣2）在區間內單調遞減，求此時k的取值范圍．

Answer 1

考點：

利用導數研究曲線上某點切線方程；函數的單調性與導數的關系．

專題：

導數的綜合應用．

分析：

（1）設切點坐標，再代入兩個解析式建立方程①，再由在切點處導數值相等列出方程②，聯立方程求解；

（2）由題意求出h（x）解析式，再求出此函數的導數，根據區間關系求出k的范圍，再對k分類：k＜﹣1時和0＜k＜1時，再由條件和導數與函數單調性關系，分別列出等價條件，求出k的范圍，最后并在一起．

解答：

解：（1）設曲線y=f（x）與y=x²有共同切線的公共點為P（x₀，y₀），

則          ①，

又∵y=f（x）與y=x²在點P（x₀，y₀）處有共同切線，

且f′（x）=ke^kx，（x²）′=2x，

∴     ②，

由①②解得，．                  

（2）由f（x）=e^kx得，函數h（x）=（x²﹣2kx﹣2）e^kx，

∴（h（x））′=[kx²+（2﹣2k²）x﹣4k]e^kx

==．             

又由區間知，，

解得0＜k＜1，或k＜﹣1．            

①當0＜k＜1時，

由（h（x））'=，得，

即函數h（x）的單調減區間為，

要使h（x）=f（x）（x²﹣2kx﹣2）在區間內單調遞減，

則有，解得．                                

②當k＜﹣1時，

由（h（x））'=，得x＜2k或，

即函數h（x）的單調減區間為（﹣∞，2k）和，

要使h（x）=f（x）（x²﹣2kx﹣2）在區間內單調遞減，

則有，或，

這兩個不等式組均無解．

綜上，當時，

函數h（x）=f（x）（x²﹣2kx﹣2）在區間內單調遞減．

點評：

本題考查了導數的幾何意義，導數與函數的單調性關系，查了分類討論思想和轉化思想．