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已知二次函數f(x)=ax2+bx+c,
(1)當c=3時,不等式f(x)<0的解集為(1,3),求f(x)的解析式;
(2)若不等式f(x)<0的解集為(1,3),且f(x)>a3-4a在區間[a,a+1]上恒成立,求實數a的取值范圍.
分析:(1)利用一元二次不等式的解集是(1,3),得到1,3是對應方程f(x)=0的兩個根,根據根與系數之間的關系求a,b即可.
(2)利用不等式f(x)<0的解集為(1,3),得到1,3是對應方程f(x)=0的兩個根,根據根與系數之間的關系求a,b,c的關系,利用f(x)>a3-4a在區間[a,a+1]上恒成立a的取值范圍.
解答:解:(1)當c=3時,f(x)=ax2+bx+3,因為元二次不等式的解集是(1,3),則1,3是對應方程f(x)=0的兩個根,且a>0,
所以據根與系數之間的關系得
1+3=-
b
a
1×3=
3
a
,解得a=1,b=-4,所以f(x)=x2-4x+3.
(2)若不等式f(x)<0的解集為(1,3),則1,3是對應方程f(x)=0的兩個根,且a>0,
所以據根與系數之間的關系得
1+3=-
b
a
1×3=
c
a
,即c=3a,b=-4a.
由f(x)>a3-4a得ax2+bx+c>a3-4a,即ax2-4ax+3a>a3-4a,因為a>0,
所以不等式等價為x2-4x+3>a2-4,即x2-4x+7-a2>0在區間[a,a+1]上恒成立,
設f(x)=x2-4x+7-a2=(x-2)2+3-a2,對稱軸為x=2.
①若a+1≤2,即0<a≤1時,函數在[a,a+1]上單調遞減,此時當x=a+1時函數值最小,所以f(a+1)=4-2a,由4-2a>0,得a<2,此時0<a≤1.
②若a≤2≤a+1,即1≤a≤2時,當x=2時,函數值最小,所以f(2)=3-a2,由3-a2>0,得-
3
<a<
3
,此時1≤a≤
3

③若a+1>2時,即a>1時,函數在[a,a+1]上單調遞增,此時當x=a時函數值最小,所以f(a)=a2-4a+7-a2=7-4a,由7-4a>0,得a<
7
4
,此時1<a<
7
4

綜上實數a的取值范圍是0<a<
7
4
點評:本題主要考查一元二次不等式的解法和一元二次函數的圖象和性質,綜合性較強,注意進行分類討論.
練習冊系列答案
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