Question

已知a，b，c是不為1的正數，x，y，z∈（0，+∞），且有a^x=b^y=c^z和

1

x

+

1

z

=

2

y

，求證：a，b，c順次成等比數列．

Answer 1

考點：等比關系的確定,對數的運算性質

專題：函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：設a^x=b^y=c^z=k則x=log_ak，y=log_bk，z=log_ck，代入根據對數的性質即可得到ac=b²，繼而得以證明

解答： 解：設a^x=b^y=c^z=k
∴x=log_ak，y=log_bk，z=log_ck，
∴

1

x

=log_ka，

1

y

=log_kb，

1

z

=log_kc
∵

1

x

+

1

z

=

2

y

，
∴log_ka+log_kc=2log_kb
∴ac=b²，
∴a，b，c順次成等比數列．

點評：本題考查了對數的運算性質，以及等比數列的等比中項的問題，屬于基礎題