Question

【題目】（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC平面SBC .

（Ⅰ）證明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析

（Ⅱ）120°

【解析】本題主要考查直線與平面垂直的判斷與性質定理、平面與平面垂直的性質，二面角的求解，以及考查邏輯思維能力、空間想象力與簡單運算能力、同時考查轉化與化歸的思想.

解法一：

(Ⅰ)連接BD，取DC的中點G，連接BG，

由此知 即為直角三角形，故.

又,

所以，.

作，，

故平面EDC，內的兩條相交直線都垂直.

,

,

所以，.

(Ⅱ) 由知

.

故為等腰三角形.

取中點F，連接，則.

連接，則.

所以，是二面角的平面角.

連接AG，AG=，,

,

所以，二面角的大小為120°.

解法二：

以D為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，

設則,,.

(Ⅰ),

設平面的法向量為,

由,

故

令，

又設，則

,

設平面的法向量，

由,得

，

故 .

令，則.

由平面得.

故.

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知，取中點F，則,,

故,由此得.

又,故由此得,

向量與的夾角等于二面角的平面角.

于是 ,

所以，二面角的大小為120°.