Question

【題目】（題文）已知是直線上的動點，點的坐標是，過的直線與垂直，并且與線段的垂直平分線相交于點 .

（1）求點的軌跡的方程;

（2）設曲線上的動點關于軸的對稱點為，點的坐標為,直線與曲線的另一個交點為(與不重合)，是否存在一個定點，使得三點共線?若存在，求出點的坐標;若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點，使得三點共線

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可知：，即曲線為拋物線，焦點坐標為，點的軌跡的方程；（Ⅱ）設，則，直線的方程，代入拋物線方程，求得的坐標，的方程為，則令，則，直線與軸交于定點，即可求得存在一個定點，使得三點共線.

試題解析：（Ⅰ）依題意，，即曲線為拋物線，其焦點為，準線方程為：，所以曲線的方程為．

（Ⅱ）設，則，

直線的斜率為，直線的方程為．

由方程組得．

設，則，，，所以，

又，所以的方程為．

令，得．即直線與軸交于定點．

因此存在定點，使得，，三點共線．