Question

已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足，過(guò)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn).   

（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；                               

（2）求證直線AB的斜率為定值；   

（3）求△PAB面積的最大值。

                                                        

Answer 1

（1）P點(diǎn)坐標(biāo)：.

（2）AB的斜率為定值

3）三角形PAB面積的最大值為。…

解析:

1）由題可得，，設(shè)

則，，

∴，∵點(diǎn)在曲線上，則，∴，從而，得.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為，

則BP的直線方程為：.

由得 ，

設(shè)，則，

同理可得，則，.

所以：AB的斜率為定值.

（3）設(shè)AB的直線方程：.

由，得，

由，得

P到AB的距離為，

則 

。

當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)

∴三角形PAB面積的最大值為。