Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點P（1，

2

2

），且兩焦點與短軸的一個端點構成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）動直線l：mx+ny+

1

3

n=0（m，n∈R）交橢圓C于A、B兩點，求證：以AB為直徑的動圓恒經過定點（0，1）．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題設知a=

2

b，所以

x2

2b2

+

y2

b2

=1，橢圓經過點P（1，

2

2

），代入可得b=1，a=

2

，由此可知所求橢圓方程
（2）首先求出動直線過（0，-

1

3

）點．當l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x²+（y+

1

3

）²=

16

9

；當l與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1．由

x2+(y+ 1 3 )2= 16 9 x2+y2=1

．由此入手可求出點T的坐標．

解答： 解：（1）∵橢圓兩焦點與短軸的一個端點構成等腰直角三角形．
∴a=

2

b，∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
又∵橢圓經過點P（1，

2

2

），代入可得b=1，
∴a=

2

，故所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1（3分）
（2）證明：因為動直線過（0，-

1

3

）點．
當l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x²+（y+

1

3

）²=

16

9

；
當l與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1．
由

x2+(y+ 1 3 )2= 16 9 x2+y2=1

，解得x=0，y=1，
所以當l與y軸平行時以AB為直徑的圓過點（0，1）
若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=kx-

1

3

由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

所以（18k2+9）x2-12kx-16=0，
設點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）則x₁+x₂=

12k

18k2+9

，x1x2=

-16

18k2+9

（9分）
設定點（0，1）為T，又因為

TA

=（x₁，y₁-1），

TB

=（x₂，y₂-1），
所以

TA

•

TB

=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=（1+k²）x₁x₂-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=

-16(1+k2)

18k2+9

-

4

3

k

12k

18k2+9

+

16

9

=0，
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和綜合運用，計算量較大，解題時要認真審題，仔細求解．