Question

（Ⅰ）已知公差不為0的等差數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，若數列是等差數列，
①求a_n；
②令（a＞0），若對一切n∈N*，都有，求q的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在各項都是正整數的無窮數列{c_n}，使對一切n∈N*都成立？若存在，請寫出數列{c_n}的一個通項公式；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）①設等差數列{a_n}的公差為d，
則，
因為是等差數列，
所以，即，
解得d=0或d=1，
因為d≠0，所以d=1，
此時，
即是等差數列，
所以a_n=n，；
②由①得，
所以，
因為，
所以，所以；
（Ⅱ）假設存在各項都是正整數的無窮數列{c_n}，使對一切n∈N*都成立，
則，
所以，
所以，
若，則，
所以當n∈N*時，，即，
因為c_n∈N*，所以，
令c₁=M，
所以（c₂-c₁）+c₁≤-（M+1）+M=-1＜0，
與矛盾；
若，取N為的整數部分，
則當n≥N時，，
所以，即，
因為c_n∈N*，所以，
令c_N=M，
所以
≤-（M+1）+M=-1＜0，
與矛盾；
綜上，假設不成立，即不存在各項都是正整數的無窮數列{c_n}，使對一切n∈N*都成立。