Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=2^x，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知f（x）≤2a恒成立，求常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，f（0）=0
當(dāng)-1＜x＜0時，0＜-x＜1
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x
∴f（x）=
（2）當(dāng)0＜x＜1時，1＜f（x）＜2
當(dāng)-1＜x＜0時，-2＜f（x）＜-1
當(dāng)x=0時，f（x）=0
∴f（x）＜2
∵f（x）≤2a恒成立
∴2a≥2
∴a≥1
分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，f（0）=0，根據(jù)x∈（0，1）時，f（x）=2^x，只要求出-1＜x＜0時的函數(shù)解析式即可
（2）由函數(shù)的解析式求出f（x）的值域，由f（x）≤2a恒成立，則f（x）_max≤2a即可求解
點評：本題主要考查了利用奇函數(shù)的性質(zhì)的對稱性求解函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是把所給的變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，函數(shù)的恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．