Question

已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：

   （Ⅰ）求動點P的軌跡Q的方程；

   （Ⅱ）過點B的直線l與軌跡Q交于兩點M，N。試問x軸上是否存在定點C，使 為常數，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，由余弦定理得：,

即

　　

.

,即.　

（當動點與兩定點共線時也符合上述結論）

動點的軌跡為以為焦點,實軸長為的雙曲線．

所以，軌跡的方程為.   

(Ⅱ)假設存在定點,使為常數．

（1）當直線 不與軸垂直時，

設直線的方程為,代入整理得:

．          

由題意知，．

設,,則,．

于是，  

．             

要使是與無關的常數，當且僅當，此時．

（2）當直線 與軸垂直時，可得點,，

當時，．   

故在軸上存在定點,使為常數.