Question

已知點A（－2,0），B（2,0），動點P滿足：,且

   （Ⅰ）求動點P的軌跡Q的方程；

   （Ⅱ）過點B的直線l與軌跡Q交于兩點M，N。試問x軸上是否存在定點C，使 為常數，若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，由余弦定理得：,

即16=

=

.     ,即　

（當動點P與兩定點A,B共線時也符合上述結論）

動點P的軌跡為以A,B為焦點,實軸長為的雙曲線.

所以，軌跡G的方程為x²-y²=2.   

（Ⅱ）假設存在定點C(m,0),使為常數.

（1）當直線l不與x軸垂直時，

設直線l的方程為y=k(x-2),代入x²-y²=2整理得:

(1-k²)x²+4k²x-(4k²+2)=0.           

由題意知，k≠±1.

設M(x₁,y₁) ,N(x₂,y₂),則x₁+x₂=,.

于是，  

.          

要使是與無關的常數，當且僅當m=1，此時.

（2）當直線 與軸垂直時，可得點，

當m=1時，.   

故在x軸上存在定點C(1,0),使為常數.