Question

【題目】平面直角坐標系xOy內，點，動點和Q關于原點O對稱，，.

（1）以原點O和點A為頂點作等腰直角三角形ABO，使，求向量坐標；

（2）若且P、M、A三點共線，求的最小值；

（3）若，且，，求直線AQ的解析式.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）

【解析】

(1)設出點B坐標，利用等腰直角三角形的兩腰相等且兩腰相互垂直，結合平面向量的坐標表示建立方程組求解即可;

(2)根據與共線，利用坐標運算列出方程得到，利用模長公式表示，結合二次函數的性質即可求出最小值；

(3)將，且，，表示為坐標的形式，列出方程組，求出點Q的坐標，再求出對應的斜率，利用點斜式寫出方程即可.

（1）設，則，

由題意可得：

解得： 或

則向量坐標為或

（2） ，

因為與共線，所以

得：

當 時，取最小值

（3）因為，所以

設 ，則，，

，

因為，且，

所以， ，

解得 或

即或

當時，,所以直線AQ的方程為，即

當時，,所以直線AQ的方程為，即

綜上所述，直線AQ的解析式為