Question

如圖a，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F為AD的中點，E在BC上，且EF∥AB．已知AB=AD=CE=2，沿線段EF把四邊形CDFE折起如圖b，使平面CDFE⊥平面ABEF．
（1）求證：AB⊥平面BCE；
（2）求三棱錐C-ADE體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖a中，EF∥AB，AB⊥AD，易得圖b中，CE⊥EF，結合平面CDFE⊥平面ABEF及面面垂直的性質定理可得CE⊥平面ABEF，進而CE⊥AB，再由AB⊥BE，由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面BCE；
（2）由平面CDFE⊥平面ABEF，AF⊥FE，根據面面垂直的性質定理可得AF⊥平面CDEF，即AF為三棱錐A-CDE的高，計算出AF的長及底面三角形ADE的面積，代入棱錐體積公式可得答案．
解答：證明：（1）在圖a中，EF∥AB，AB⊥AD，
∴EF⊥AD，（2分）
在圖b中，CE⊥EF，
又∵平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF=EF，
∴CE⊥平面ABEF，
又∵AB?平面ABEF，
∴CE⊥AB，（5分）
又∵AB⊥BE，BE∩CE=E，
∴AB⊥平面BCE；（7分）
（2）∵平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF=EF，AF⊥FE，AF?平面ABEF，
∴AF⊥平面CDEF，（10分）
∴AF為三棱錐A-CDE的高，且AF=1，
又∵AB=CE=2，
∴，
故三棱錐C-ADE體積V=AF•S_△CDE=（14分）
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中（1）的關鍵是熟練掌握面面垂直，線面垂直及線線垂直的相互轉化，（2）的關鍵是判斷出棱錐的高和底面面積．