Question

求下列函數的值域：
（1）y=x²-4x+6，x∈[1，5）；
（2）y=2x-

x-1

．

Answer 1

分析：（1）轉化為求二次函數y=x²-4x+6在區間x∈[1，5）上的最值問題，配方得，當x=2時，y取得最小值2，x=5時，y有最大值11；
（2）由

x-1

≥0，不妨設

x-1

= t，t∈[0，+∞）原式可轉化為t的二次函數y（t）=2t²-t+2，在t∈[0，+∞）的最值問題．

解答：解：（1）配方得：y=x²-4x+6=（x-2）²+2．
∵x∈[1，5），∴0≤（x-2）²＜9，所以2≤y＜11．
從而函數的值域為{y|2≤y＜11}．
（2）原函數的定義域是{x|x≥1，x∈R}．令

x-1

=t，
則t∈[0，+∞），x=t²+1．
∴y=2（t²+1）-t=2t²-t+2．
問題轉化為求y（t）=2t²-t+2，t∈[0，+∞）值域的問題．
y=y(t)=2t2-t+2=2(t-

1

4

)2+

15

8

，
∵t≥0，∴0≤(t-

1

4

)2，y≥

15

8

．從而函數的值域為{y|y≥

15

8

}．

點評：本題（1）是求二次函數在某一區間上的最值問題，關鍵是對稱軸在區間內，在區間外？（2）通過設未知數（換元）轉化為求二次函數在某一區間上的最值問題，解法同（1）．