Question

（2012•許昌一模）已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CBA=90°，面 PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD=2，BC=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥AC；
（Ⅱ）若點M是棱PD的中點．求二面角M-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中點E，先證明PE⊥面ABCD，可得PE⊥AC，證明AC⊥ED，可得AC⊥平面PED，從而PD⊥AC；
（Ⅱ）在平面ABCD內，過點E作EG⊥AB，以E為坐標原點，EB，EG，EP分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，確定平面MAC、平面ACD的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角M-AC-D的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：取AB中點E，連接PE，DE，AC，設AC∩DE=F
∵PA=PB，E是AB中點，∴PE⊥AB
∵面 PAB⊥面ABCD，面 PAB∩面ABCD=AB，
∴PE⊥面ABCD，∴PE⊥AC
在直角△ABC與直角△DAE中，

AB

AD

=

BC

AE

，∴△ABC∽△DAE，∴∠AED=∠ACB
∴∠AED+∠BAC=90°，∴AC⊥ED
∵PE⊥AC，PE∩ED=E
∴AC⊥平面PED
∵PD?平面PED
∴PD⊥AC；
（Ⅱ）在平面ABCD內，過點E作EG⊥AB，以E為坐標原點，EB，EG，EP分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，
則M（-

1

2

，1，

3

2

），A（-1，0，0），C（1，1，0），D（-1，2，0）
∴

AC

=(2，1，0)，

AM

=(

1

2

，1，

3

2

)
設平面MAC的法向量為

m

=（x，y，z），則由

m • AC =0 m • AM =0

，可得

2x+y=0 1 2 x+y+ 3 2 z=0

，可取

m

=（1，-2，

3

）
又平面ACD的法向量為

n

=（0，0，1）
∴二面角M-AC-D的余弦值為

m • n

| m || n |

=

3

2 2

=

6

4

．

點評：本題考查面面垂直，考查線面垂直、面面角，考查利用向量知識解決立體幾何問題，正確求平面的法向量是關鍵．