Question

已知各項都不相等的等差數列{a_n}的前六項和為60，且a₆為a₁和a₂₁的等比中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式
（2）若數列{b_n}滿足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=3，求數列{

1

bn

}的前n項T_n．

Answer 1

分析：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，由題意建立方程組，求得d和a₁，進而根據等差數列的通項公式和求和公式分別求得a_n及前n項和S_n．
（II）根據（I）中的a_n和b₁，根據b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…（b₂-b₁）+b₁，進而求得b_n，再利用裂項法求得{

1

bn

}．

解答：解：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，
則

6a1+15d=60 a1(a1+20d)=(a1+5d)2

解得

d=2 a1=5.

∴a_n=2n+3．
Sn=

n(5+2n+3)

2

=n(n+4)
（II）由b_n+1-b_n=a_n，∴b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
當n≥2時b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…（b₂-b₁）+b₁
=a_n-1+a_n-2++a₁+b₁=（n-1）（n-1+4）+3
=n（n+2）
對b₁=3也適合∴b_n=n（n+2）（n∈N^*）
∴

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

++

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

點評：本題主要考查等差數列的性質和用裂項法求和，注意由數列的性質，來確定求和的方法．