Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面四邊形ABCD是一個菱形，且∠ABC，AB＝2，PA⊥平面ABCD．

（1）若Q是線段PC上的任意一點，證明：平面PAC⊥平面QBD．

（2）當平面PBC與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為時，求PA的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先證明BD⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得證；

（2）建立空間直角坐標系，設P(0,1,a)（a>0），求出平面PBC與平面PDC的法向量，利用向量夾角公式建立關于a的方程，解出即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是一個菱形，∴AC⊥BD，

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，

又AC∩PA=A，則BD⊥平面PAC，

∵BD在平面QBD內，

∴平面PAC⊥平面QBD；

（2）設AC，BD交于點O，分別以OB，OC所在直線為x軸，y軸，以平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，設P(0,1，a)(a>0)，

則，

設平面PBC的一個法向量為，

則，則，

同理可求平面PDC的一個法向量為，

∴，解得a2=2，

∴．