Question

已知函數f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）
（1）若函數f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b，求a，b的值．
（2）若函數f（x）在（1，+∞）上為增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據切線的斜率為1，得到f'（2）=1，解之得a=2；從而得到f（x）=

1

2

x²-2lnx，算出切點坐標為（2，2-2ln2），再代入直線y=x+b，即可求出實數b的值．
（2）根據題意，f'（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，由此得到關于x的不等式a≤x²在（1，+∞）上恒成立，再討論x²的取值范圍，即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-alnx，∴f'（x）=x-

a

x

，其中（x＞0）
∵f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b
∴f'（2）=2-

a

2

=1，解之得a=2，
由此可得函數表達式為f（x）=

1

2

x²-2lnx，得f（2）=2-2ln2
∴切點（2，2-2ln2）在直線y=x+b上，可得2-2ln2=2+b，解之得b=-2ln2
綜上所述，a=2且b=-2ln2；
（2）∵f（x）在（1，+∞）上為增函數，
∴f'（x）≥0，即x-

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立
結合x為正數，可得a≤x²在（1，+∞）上恒成立
而在區間（1，+∞）上x²＞1，故a≤1
∴滿足條件的實數a的取值范圍為（-∞，1]．

點評：本題給出含有二次式和對數式的基本函數，求函數圖象的切線并討論不等式恒成立，著重考查了運用導數研究函數的單調性和導數的幾何意義等知識，屬于中檔題．