Question

如圖，半圓的直徑為AB=2，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值是（　　）

• A．-

  1

  8

• B．-

  1

  2

• C．-

  1

  4

• D．

  1

  8

Answer 1

分析：由題意可得

PA

+

PB

=2

PO

，從而把要求的式子化為-2|

PO

|•|

PC

|，再利用基本不等式求得|

PO

|•|

PC

|≤

1

4

，從而求得則(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值．

解答：解：∵

PA

+

PB

=2

PO

，∴(

PA

+

PB

)•

PC

=2

PO

•

PC

=-2|

PO

|•|

PC

|．
∵|

PO

|+|

PC

|=|

OC

|=1．
再利用基本不等式可得1≥2

| PO |•| PC |

，故有|

PO

|•|

PC

|≤

1

4

，-|

PO

|•|

PC

|≥-

1

4

，
∴(

PA

+

PB

)•

PC

=-2|

PO

|•|

PC

|≥-

1

2

，
故選B．

點評：本題主要考查向量在幾何中的應用、以及基本不等式的應用問題，屬于中檔題目．