Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若為的極值點，求實數(shù)的值；

（2）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若使方程有實根，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）

【解析】試題分析：（1）求導若為的極值點，則從而求得結果．（2）由f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則有f′（x）≥0，x∈[1，+∞）上恒成立求解．若，則，∴在上為增函數(shù)成立，若，

對上恒成立. 對稱軸為，從而在上為增函數(shù). 只要即可（3）將a=-1代入，方程f(1x)(1x)3＝可轉化為b=xlnx+x2-x3，x＞0上有解，只要求得函數(shù)g（x）=xlnx+x2-x3的值域即可．

試題解析：

（1）

∵為的極值點，∴

∴且∴

又當時， ，從而為的極值點成立.

（2）因為在上為增函數(shù)，

所以在上恒成立.

若，則，∴在上為增函數(shù)成立

若，由對恒成立知.

所以對上恒成立.

令，其對稱軸為，

因為，所以，從而在上為增函數(shù).

所以只要即可，即

所以又因為

（3）若時，方程

可得

即在上有解

即求函數(shù)的值域.

令

由∵∴當時， ，

從而在上為增函數(shù)；當時， ，從而在上為減函數(shù).

∴，而可以無窮小.∴的取值范圍為.