Question

已知函數的圖象與x軸相切于點S（s，0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象與過坐標原點O的直線l相切于點T（t，f（t）），且f（t）≠0，證明：1＜t＜e；（注：e是自然對數的底）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記直線ST的傾斜角為α，試證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導數，利用函數的圖象與x軸相切于點S（s，0），建立方程，即可求得函數的解析式；
（Ⅱ）先確定直線l的方程為：，利用T在直線l上，可得實數t必為方程，構造函數，確定函數的單調性，從而可得是方程在區間內的唯一一個解，由此可證結論；
（Ⅲ）先證明，利用y=tanx在單調遞增，即可證得結論．
解答：（Ⅰ）解：由，得．…（1分）
∵函數的圖象與x軸相切于點S（s，0），
∴，…①且f（s）=…．②…（2分）
聯立①②得c=e，．…（3分）
∴．…（4分）
（Ⅱ）證明：．
∵函數的圖象與直線l相切于點T（t，f（t）），直線l過坐標原點O，
∴直線l的方程為：，
又∵T在直線l上，∴實數t必為方程…．③的解．…（5分）
令，則，
解g′（t）＞0得，g′（t）＜0得．
∴函數y=g（t）在遞減，在遞增．…（7分）
∵，且函數y=g（t）在遞減，
∴是方程在區間內的唯一一個解，
又∵，∴不合題意，即．…（8分）
∵g（1）=2-e＜0，，函數y=g（t）在遞增，
∴必有1＜t＜e．…（9分）
（Ⅲ）證明：∵T（t，f（t）），
∴，
由③得，…（10分）
∵t＞0，且0≤α＜π，∴．
∵1＜t＜e，∴，…（11分）
∵，，…（13分）
∴，
∵y=tanx在單調遞增，∴．…（14分）
點評：本小題主要考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、曲線的切線方程、函數的零點、解不等式、直線方程和三角函數等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、函數與方程思想、特殊與一般思想．