Question

實數x，y滿足4x²+4y²-5xy=5，設S=x²+y²，則S的最小值為

10

3

．

Answer 1

分析：將S=x²+y²代入已知等式，得5xy+5=4（x²+y²）=4S．再根據基本不等式得到xy≤

1

2

（x²+y²）=S，將其代入5xy+5=4S得4S≤

5

2

S+5，從而得到S≤

10

3

，當且僅當x=y=

15

3

時，S的最小值為

10

3

．

解答：解：∵4x²+4y²-5xy=5，
∴5xy+5=4（x²+y²）=4S
∵S=x²+y²≥0
∴由基本不等式得：S≥2xy⇒xy≤

1

2

S
∴5xy+5=4S≤

5

2

S+5
∴

3

2

S≤5⇒S≤

10

3

當且僅當x=y=

15

3

時，S的最小值為

10

3

．
故答案為：

10

3

點評：本題以一個二元二次代數式求最值為載體，著重考查了運用基本不等式求最值、轉化化歸的數學思想和方程與不等式的聯系等知識點，屬于中檔題．