Question

已知常數a＞0且a≠1，變數x、y滿足 3log_xa+log_ax-log_xy=3
（1）若x=a^t（t≠0），試以a、t表示y．
（2）若t∈{t|t²-4t+3≤0}時，y有最小值8，求a和x的值．

Answer 1

分析：（1）由題意利用換底公式可得 log_ay=(logax)2-3log_ax+3，再由x=a^t（t≠0），可得 log_ax=t，由此可用a、t表示y．
（2）由t²-4t+3≤0可得 1≤t≤3．分0＜a＜1和a＞1兩種情況，并根據y有最小值8，求得a的值，由此求得對應的x的值．

解答：解：（1）∵3log_xa+log_ax-log_xy=3，由換底公式可得

3

logax

+log_ax-

logay

logax

=3，
解得 log_ay=(logax)2-3log_ax+3．
若x=a^t（t≠0），則 log_ax=t，
∴log_ay=t²-3t+3，∴y=a(t2-3t+3)．
（2）由t²-4t+3≤0可得 1≤t≤3．
當0＜a＜1時，由于y有最小值8，故函數u=t²-3t+3=(t-

3

2

)2+ 

3

4

 必有最大值，故當 t=3時，函數u取得最大值為3，即 a³=8，a=2，這與0＜a＜1矛盾．
當a＞1時，由于y有最小值8，故函數u=t²-3t+3=(t-

3

2

)2+ 

3

4

必有最小值，故當 t=

3

2

時，函數u取得最小值為

3

4

，即a

3

4

=8，a=16，此時x=64．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質，二次函數的性質應用，屬于中檔題．