Question

【題目】為了響應教育部頒布的《關于推進中小學生研學旅行的意見》，某校計劃開設八門研學旅行課程，并對全校學生的選擇意向進行調查（調查要求全員參與，每個學生必須從八門課程中選出唯一一門課程）．本次調查結果整理成條形圖如下．圖中，已知課程A，B，C，D，E為人文類課程，課程F，G，H為自然科學類課程．為進一步研究學生選課意向，結合圖表，采取分層抽樣方法從全校抽取1%的學生作為研究樣本組（以下簡稱“組M”）．
（Ⅰ）在“組M”中，選擇人文類課程和自然科學類課程的人數各有多少？
（Ⅱ）為參加某地舉辦的自然科學營活動，從“組M”所有選擇自然科學類課程的同學中隨機抽取4名同學前往，其中選擇課程F或課程H的同學參加本次活動，費用為每人1500元，選擇課程G的同學參加，費用為每人2000元．
（ⅰ）設隨機變量X表示選出的4名同學中選擇課程G的人數，求隨機變量X的分布列；
（ⅱ）設隨機變量Y表示選出的4名同學參加科學營的費用總和，求隨機變量Y的期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）選擇人文類課程的人數為（100+200+400+200+300）×1%=12（人）；

選擇自然科學類課程的人數為（300+200+300）×1%=8（人）．

（Ⅱ）（ⅰ）依題意，隨機變量X可取0，1，2. ； ； ．

故隨機變量X的分布列為

X	0	1	2
p

（ⅱ）法1：依題意，隨機變量Y=2000X+1500（4﹣X）=6000+500X，

所以隨機變量Y的數學期望為

E（Y）=6000+500E（X）

=6000+500（ ）

=6500．

（ⅱ）法2：依題意，隨機變量Y可取6000，6500，7000．

所以隨機變量Y的分布列為

Y	6000	6500	7000
p

所以隨機變量Y的數學期望為

E（Y）= =6500

【解析】（Ⅰ）根據頻率分布直方圖的性質即可得出．（Ⅱ）（ⅰ）依題意，隨機變量X可取0，1，2．利用“超幾何分布列的計算公式與性質”即可得出．（ⅱ）法1：依題意，隨機變量Y=2000X+1500（4﹣X），可得隨機變量Y的數學期望為E（Y）=6000+500E（X）．（ⅱ）法2：依題意，隨機變量Y可取6000，6500，7000．求出隨機變量Y的分布列，進而得出數學期望．
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．