Question

已知向量

a

=(sin

x

2

，cos

x

2

)，

b

=(cos

x

2

，

3

cos

x

2

)，函數f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）如果△ABC中，f（A）=

3

，且角A所對的邊a=2，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量數量積的坐標運算公式，結合輔助角公式化簡可得f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

，結合正弦函數的圖象與性質，即可得到求f（x）的單調遞增區間；
（2）根據（1）的表達式結合f（A）=

3

，算出A=

π

3

，再由余弦定理給出a²=b²+c²-2bccos

π

3

=4，結合基本不等式算出b+c的最大值，由此不難得到△ABC的周長l的取值范圍．

解答：解：（1）∵向量

a

=(sin

x

2

，cos

x

2

)，

b

=(cos

x

2

，

3

cos

x

2

)，
∴f(x)=

a

•

b

=sin

x

2

cos

x

2

+

3

cos²

x

2

=

1

2

sinx+

3

2

（1+cosx）=sin（x+

π

3

）+

3

2

即f（x）的表達式是y=sin（x+

π

3

）+

3

2

令-

π

2

+2kπ≤x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z），可得-

5π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，（k∈Z）
∴函數f（x）的單調遞增區間是[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ]，（k∈Z）
（2）∵f（A）=sin（A+

π

3

）+

3

2

=

3

，
∴sin（A+

π

3

）=

3

2

，結合A為三角形內角可得A=

π

3

根據余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

=4
∴（b+c）²-4=3bc≤

3

4

（b+c）²，可得

1

4

（b+c）²≤4，即（b+c）²≤16
當且僅當b=c=2時，b+c的最大值為4
又∵b+c＞a=2，∴b+c∈（2，4]，
由此可得△ABC的周長l的取值范圍是（4，6]．

點評：本題以向量的數量積運算為載體，求函數的單調增區間，并依此求解三角形周長的取值范圍，著重考查了三角恒等變換、解三角形、三角函數的圖象與性質和基本不等式求最值等知識，屬于基礎題．