Question

（本小題滿分18分）過直線上的點作橢圓的切線、，切點分別為、，聯結（1）當點在直線上運動時，證明：直線恒過定點；
（2）當∥時，定點平分線段

Answer 1

（1）（2）略

：設、、. 則橢圓過點、的切線方程分別為
，（3分）因為兩切線都過點，則有，.這表明、均在直線  ①上.由兩點決定一條直線知，式①就是直線的方程，其中滿足直線的方程.………（6分）
（1）當點在直線上運動時，可理解為取遍一切實數，相應的為
代入①消去得 ②對一切恒成立.……（9分）
變形可得對一切恒成立.故有由此解得直線恒過定點.（12分）
（2）當∥時，由式②知 解得
代入②，得此時的方程為 ③
將此方程與橢圓方程聯立，消去得……（15分）
由此可得，此時截橢圓所得弦的中點橫坐標恰好為點的橫坐標，即
代入③式可得弦中點縱坐標恰好為點的縱坐標，即
這就是說，點平分線段.……（18分）