Question

（本小題滿分12分）

       已知半圓，動圓與此半圓相切且與軸相切。

   （1）求動圓圓心的軌跡，并畫出其軌跡圖形；

   （2）是否存在斜率為的直線，它與（1）中所得軌跡的曲線由左到右順次交于A、B、C、D四點，且滿足。若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）動圓圓心的軌跡方程為及

（2）這樣的直線不存在

解析:

（1）設動圓圓心為，做軸交軸于N。 1分

       若兩圓外切，，

       所以，

       化簡得   3分

       若兩圓內切，，

       所以，

       化簡得   4分

       綜上，動圓圓心的軌跡方程為

       及，

       其圖象是兩條拋物線位于軸上方的部分，作簡圖如圖：   6分

（2）設直線存在其方程可設為，

       依題意，它與曲線交于A，D，

       與曲線交于B，C   7分

       由

       得及   9分

      

            10分

      

       即   11分

       解得，

       將代入方程

       得

       因為曲線中橫坐標范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞），

       所以這樣的直線不存在    12分