Question

如圖，已知點A（4，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在拋物線y²=2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合，M為 BC中點．
（Ⅰ）求該拋物線的方程和焦點F的坐標；
（Ⅱ）求BC所在直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將點A（4，8）代入拋物線y²=2px，解得p=8，求出方程及焦點．
（Ⅱ）利用重心的定義，得出M點的坐標為（4，-4），再利用差分法求BC所在直線的方程．

解答：解：（Ⅰ）由點A（4，8），在拋物線y²=2px上解得p=8，
∴拋物線的方程為y²=16x，焦點F的坐標（4，0）
（Ⅱ）∵△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合
由B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）得：

4+x1+x2 3 =4 8+y1+y2 3 =0

∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=-8，M點的坐標為（4，-4）
由B，C在拋物線y²=16x上，

y12=16x1 y22=16x2

兩方程作差y₁²-y₂²=16（x₁-x₂）
∴直線BC的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

16

y1+y2

=

16

-8

=-2
∴BC所在直線的方程為y+4=-2（x-4），即2x+y-4=0

點評：本題考查拋物線的標準方程，直線方程求解．若知弦中點求弦所在直線方程時常用“差分法”求解．