Question

已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率。

（I）求橢圓的方程。

（II）設O為坐標原點，點A、B分別在橢圓C₁和C₂上，，求直線AB的方程。

Answer 1

解：（1）橢圓的長軸長為4，離心率為

∵橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率

∴橢圓C₂的焦點在y軸上，2b=4，為

∴b=2，a=4

∴橢圓C₂的方程為；

（2）設A，B的坐標分別為（x_A，y_A），（x_B，y_B），

∵

∴O，A，B三點共線，且點A，B不在y軸上

∴設AB的方程為y=kx

將y=kx代入，消元可得（1+4k²）x²=4，∴

將y=kx代入，消元可得（4+k²）x²=16，∴

∵，∴=4，

∴，解得k=±1，

∴AB的方程為y=±x