Question

函數(shù)f（x）的定義域為D，若對于任意x₁，x₂∈D，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1；③，則的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知條件求出f（1）、f（）、f（）、f（）、f（）的值，利用當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），
∴＜＜，有f（）≤f（）≤f（），而f（）==f（），有 f（）=，結果可求．
解答：解：∵函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，∴f（1）=1，
令x=，所以有f（）=，又∵③，∴f（x）=2f（），f（）=2f（）
f（）=f（x），令x=1，有f（）=f（1）=，
令x=，有f（）=f（）=，f（）=f（）=，
非減函數(shù)性質：當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），∴＜＜，有f（）≤f（）≤f（），
而f（）==f（），所以有 f（）=，則=+2f（）=+2×=1．
點評：本題考查抽象函數(shù)的應用，充分利用題意中非減函數(shù)性質．