Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長都相等，則異面直線AB₁和A₁C所成的角的余弦值大小是

 

．

Answer 1

分析：延長BA到D，使AD=AB，根據異面直線所成角的定義可知∠DA₁C就是異面直線AB₁和A₁C所成的角，解三角形A₁DC，利用余弦定理可求得此角的余弦值．

解答：解：延長CA到D，使得AD=AC，則ADA₁B₁為平行四邊形，
∴AB₁∥A₁D，
∴∠DA₁C就是異面直線AB₁和A₁C所成的角，
又三角形ABC為等邊三角形，設AB=AA₁=1，∠CAD=120°
則CD=

1+1-2×1×1×(- 1 2 )

=

3

；A₁C=A₁D=

2

，
在△A₁CD中，cos∠DA₁C=

2+2-3

2× 2 × 2

=

1

4

．
故答案是：

1

4

．

點評：本小題主要考查了直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質、異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法，考查轉化思想．