Question

19.在平面直角坐標系中，經過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和.

（I）求的取值范圍；

（II）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知條件，直線的方程為，

代入橢圓方程得.

整理得　　　①

直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于，

解得或.即的取值范圍為.

（Ⅱ）設，則，

由方程①，.　　　        ②

又.　　　　     ③

而.

所以與共線等價于，

將②③代入上式，解得.

由（Ⅰ）知或，故沒有符合題意的常數.