Question

【題目】如圖，某小區中央廣場由兩部分組成，一部分是邊長為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規劃修建的條直道， ， 將廣場分割為個區域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區域，其中點在半圓弧上， 分別與， 相交于點， .（道路寬度忽略不計）

（1）若經過圓心，求點到的距離；

（2）設， .

①試用表示的長度；

②當為何值時，綠化區域面積之和最大.

Answer 1

【答案】（1）（2）①最小值為②當時，綠化區域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大

【解析】試題分析：（1）先建立直角坐標系，聯立直線OB方程與圓方程解得P點縱坐標，即得點到的距離；（2）①先求點到的距離為，再根據三角形相似得的長度；②根據三角形面積公式求三個三角形面積，再用總面積相減得綠化區域面積，最后利用導數求函數最值

試題解析：以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立平面直角坐標系.

（1）直線的方程為，

半圓的方程為 ，

由得.

所以，點到的距離為.

（2）①由題意，得.

直線的方程為

，

令，得

.

直線的方程為，

令，得 .

所以， 的長度為

， .

②區域Ⅳ、Ⅵ的面積之和為

，

區域Ⅱ的面積為

，

所以 .

設，則，

.

.

當且僅當，即時“”成立.

所以，休閑區域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為.

答：當時，綠化區域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大.