Question

已知數列{a_n}中，a_n+1=a_n+2n，n∈N^*，a₁=0．
求（1）{a_n}的通項公式；
（2）數列{

1

an+2n

}的前n項和Sn．

Answer 1

分析：（1）由已知可知，a_n+1-a_n=2n，則有a_n-a_n-1=2（n-1）…a₂-a₁=2×1，結合類加法即可求a_n
（2）由（1）可得

1

an+2n

=

1

n

-

1

n+1

，則可得到數列{

1

an+2n

}的前n項和Sn=

n

n+1

．

解答：解：（1）由于在數列{a_n}中，a_n+1=a_n+2n，n∈N^*，a₁=0，
則a_n+1-a_n=2n
故有a_n-a_n-1=2（n-1）
…
a₂-a₁=2×1
a₁=0，
則a_n=2×[（n-1）+（n-2）+…+1]=n（n-1）
故{a_n}的通項公式為 a_n=n（n-1）；
（2）由于

1

an+2n

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

則數列

1

an+2n

的前n項和為
S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列求解數列的通項公式，數列的裂項相消求解數列的和方法的應用，屬于數列知識的綜合應用．