Question

已知f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，而且f（x）＞0，f（3）=1．判斷在（0，3）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：在（0，3）上任取2個值x₁＜x₂，化簡g（x₁）-g（x₂）的式子，利用 0＜f（x₁）＜f（x₂）≤f（3）=1，判斷g（x₁）-g（x₂）＞0，從而證明函數(shù)在（0，3）上是減函數(shù)．
解答：解：函數(shù)g（x）在（0，3）上是減函數(shù)．
證明如下：任取0＜x₁＜x₂≤3，
則．
∵f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，∴f（x₁）-f（x₂）＜0．又f（x）＞0，f（3）=1，
∴0＜f（x₁）＜f（x₂）≤f（3）=1，
∴0＜f（x₁）•f（x₂）＜1，
，．
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂）
由此可知，函數(shù)在（0，3）上是減函數(shù)．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明方法．