Question

17．已知函數f（x）=1-$\frac{4}{2{a}^{x}+a}$（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若關于x的方程|f（x）•（2^x+1）|=m有1個實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（0）=0，求a的值；
（Ⅱ）設h（x）=|f（x）•（2^x+1）|，g（x）=m，則m=0或m≥1，兩函數圖象有一個交點，即可求實數m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=1-$\frac{4}{2{a}^{x}+a}$（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，即1-$\frac{4}{2+a}$=0，∴a=2；
（Ⅱ）設h（x）=|f（x）•（2^x+1）|，g（x）=m，如圖所示，
m=0或m≥1，兩函數圖象有一個交點，
∴關于x的方程|f（x）•（2^x+1）|=m有1個實根時，實數m的取值范圍是m=0或m≥1．

點評 本題考查奇函數的性質，考查函數的圖象，正確作出函數的圖象是關鍵．