Question

21.設函數f（x）=x－ln（x+m）,其中常數m為整數.

（Ⅰ）當m為何值時,f（x）≥0;

（Ⅱ）定理:若函數g（x）在[a,b]上連續,且g（a）與g（b）異號,則至少存在一點x₀∈（a,b）,使g（x₀）=0.

試用上述定理證明:當整數m>1時,方程f（x）=0,在[e^－m－m,e^2m－m]內有兩個實根.

Answer 1

21.本題主要考查函數的單調性、極值等知識和思維能力、創新意識.

（Ⅰ）解：函數f（x）=x－ln（x+m）,x∈（－m,+∞）連續,

   且f′（x）=1－.令f′（x）=0,得x=1－m.

當x∈（－m,1－m）時,f′（x）<0,f（x）為減函數,

f（x）>f（1－m）.

當x∈（1－m,+∞）時,f′（x）>0,f（x）為增函數,

f（x）>f（1－m）.

根據函數極值判別方法,f（1－m）=1－m為極小值,而且

對x∈（－m,+∞）都有f（x）≥f（1－m）=1－m.

故當整數m≤1時,f（x）≥1－m≥0.

 （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知,當整數m>1時,f（1－m）=1－m<0.

 函數f（x）=x－ln（x+m）,在[e^－m－m,1－m]上為連續減

 函數.

 f（e^－m－m）=e^－m－m－ln（e^－m－m+m）=e^－m>0.

           當整數m>1時,f（e^－m－m）與f（1－m）異號,

由所給定理知,存在唯一的x₁∈（e^－m－m,1－m）,

使f（x₁）=0.

而當整數m>1時,

f（e^2m－m）=e^2m－3m>（1+1）^2m－3m>1+2m+ －3m>0.

（∵m>12m－1>1.上述不等式也可用數學歸納法證明）.

類似地,當整數m>1時, f（x）=x－ln（x+m）,在[1－m,e^－m－m]上為連續增函數,且f（1－m）與f（e^2m－m）異號,由所給定理知,存在唯一的x₂∈(1－m,e^2m－m),使f（x₂）=0. 

故當m>1時,方程f（x）=0在[e^－m－m,e^2m－m]內有兩個實根.