Question

（本小題滿分14分）

設直線. 若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R，都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”．

（Ⅰ）已知函數．求證：為曲線的“上夾線”．

（Ⅱ）觀察下圖：

根據上圖，試推測曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由得， ……………………………1分

當時，，

此時，， ………………2分

，所以是直線與曲線的一個切點； …………………3分

當時，，此時，，…4分

，所以是直線與曲線的一個切點； ……………5分

所以直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；

對任意x∈R，，

所以， ……………………………………………………………………6分

因此直線是曲線的“上夾線”．……………………7分

（Ⅱ）推測：的“上夾線”的方程為，……………9分

①先檢驗直線與曲線相切，且至少有兩個切點：

設：，

令，得：（k∈Z），…………………………10分

當時，，

故過曲線上的點(，m()+n)的切線方程為：

y-[ m()+n]=m[x-()]化簡得：．

即直線與曲線相切且有無數個切點．…………………12分

不妨設，②下面檢驗g(x) ≥ F(x)，g(x)－F(x)=，

直線是曲線的“上夾線”．………………………………14分

 

【解析】略