Question

設函數y=f（x）與函數y=f（f（x））的定義域交集為D．若對任意的x∈D，都有f（f（x））=x，則稱函數f（x）是集合M的元素．
（1）判斷函數f（x）=-x+1和g（x）=2x-1是否是集合M的元素，并說明理由；
（2）設函數f（x）=，試求函數f（x）的反函數f^-1（x），并證明f^-1（x）∈M；
（3）若f（X）=（a，b為常數且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為對任意x∈R，f（f（x））=-（-x+1）+1=x，所以f（x）=-x+1∈M（2分）
因為g（g（x））=2（2x-1）-1=4x-3不恒等x，所以g（x）∉M
（2）因為f（x）=log₂（1-2^x），所以x∈（-∞，0），f（x）∈（-∞，0）…（5分）
函數f（x）的反函數f^-1（x）=log₂（1-2^x），（x＜0）…（6分）
又因為f^-1（f^-1（x））=log₂（1-）=log₂（1-（1-2^x））=x…（9分）
所以f^-1（x）∈M…（10分）
（3）因為f（x）=，所以f（f（x））=x對定義域內一切x恒成立，
∴
即解得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，故a+b=0…（12分）
由f（x）＜1，得＜1即…（13分）
若a=1則＜0，所以x∈（-∞，1）…（14分）
若0＜a＜1，則且a＜，所以x∈（-∞，a）∪（，+∞）…（16分）
若a＞1，則且a＞，所以x∈（，a）…（18分）
分析：（1）欲判斷函數f（x）=-x=1，lg（x）=2x-1是否是M的元素，只須驗證對任意x∈R，f（f（x））=x是否成立；
（2）先求出函數f（x）的反函數f^-1（x），然后直接根據題中的定義判斷f^-1（x）是否是M的元素即可；
（3）根據定義，問題可轉換為f₂（x）=f（f（x））=x對一切定義域中x恒成立，建立等式，從而可得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，即a+b=0，故可解不等式，即可求使f（x）＜1成立的x的范圍．
點評：本題主要考查了函數恒成立問題和反函數，函數值的求法等，是一道創新型的題目，還考查了學生的創新意識，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．