Question

（2013•嘉興二模）設F是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的左焦點，C是其右頂點，過F作x軸的垂線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABC是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

• A．（1，2）
• B．（1+

  2

  ，+∞）
• C．（1，1+

  2

  ）
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：利用雙曲線的對稱性及鈍角△ABC，可得∠ACF₁＞45°，從而得到|AF₁|＞|CF₁|，由此建立關于a、b、c的不等式，轉化成關于離心率e的一元二次不等式，解之即可得出雙曲線離心率的范圍．

解答：解：根據雙曲線的對稱性，可得|AC|=|BC|，
∴△ABC是等腰三角形，
若△ABC是鈍角三角形，則∠ACB是鈍角．
∵∠ACF₁=

1

2

∠ACB，可得Rt△ACF₁中，∠ACF₁＞45°．
∴|AF₁|＞|CF₁|，可得

b2

a

＞a+c，
即

c2-a2

a

＞a+c，整理得c²-ac-2a²＞0
兩邊都除以a²，可得e²-e-2＞0，解之得e＜-1或e＞2．
∵雙曲線的離心率e∈（1，+∞），∴e＞2．
故選：D．

點評：本題考查雙曲線的對稱性和雙曲線的三個參數關系：c²=a²+b²，同時考查了等腰三角形的性質和二次不等式的解法等知識，屬于中檔題．