Question

(1)若(2.5)^x=1000,(0.25)^y=1000,求證:－=；

(2)若lg(x－y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy,求的值；

(3)若2^6a=3^3b=6^2c,求證:+=.

Answer 1

(1)證明:由(2.5)^x=1000x=log_2.51000,

即=.

由(0.25)^y=1000y=log_0.251000=,

所以－=(lg2.5－lg0.25)=lg=.

(2)解:由已知條件得lg［(x－y)(x+2y)］=lg(2xy),即(x－y)(x+2y)=2xy.

化簡得x²－xy－2y²=0.

兩邊同時除以y²得()²－－2=0,

求得=2或=－1.

由x＞0,y＞0,可知＞0,∴=2.

(3)證法一:設2^6a=3^3b=6^2c=k(k＞0),那么

所以

所以+=6·log_k2+2×3log_k3

=log_k(2⁶×3⁶)=6log_k6

=3×2log_k6=,

即+=.

證法二:因為2_6a=3_3b,所以6alg2=3b·lg3.

所以lg3=·lg2.

因為3^3b=6^2c,所以3blg3=2clg6=2c(lg2+lg3).

所以(3b－2c)lg3=2clg2.

所以lg3=·lg2.

所以·lg2=lg2.

因為lg2≠0,所以=.

所以3ab=bc+2ac,即+=.

點評:對于對數式的求值或證明這類問題,通常要利用對數(或指數)的運算法則,從尋求條件與結論(或所求式子)的差別和聯系著手考慮.有時通過對數式與指數式轉換來達到求值與證明的目的,特別是對連等的指數式更是如此.