Question

（1）若指數函數y=a^x的圖象與直線y=x相切，則a=

e 

1

e

；
（2）如果函數f（x）=a^x-log_ax不存在零點，則a的取值范圍為

(e

1

e

，+∞)

．

Answer 1

分析：（1）先設切點坐標為（m，m），然后得到兩個等式f（m）=m，f'（m）=1，利用消元法消去m，最后求出a即可．
（2）由于函數f（x）=a^x-log_ax不存在零點，故函數y=a^x與y=log_ax不存在交點，即函數y=a^x的圖象不與直線y=x相交，由（1）知，指數函數y=a^x的圖象與直線y=x相切，則a=e 

1

e

，故a的取值范圍可知．

解答：解：（1）∵函數f（x）=a^x（a＞1）的圖象與直線y=x圖象相切
∴設切點坐標為（m，m）且a^m=m，f'（m）=a^mlna=1
∴mlna=lnm=1
∴m=e，a=e 

1

e

；
（2）∵函數f（x）=a^x-log_ax不存在零點，
∴函數y=a^x與y=log_ax不存在交點，
由于函數y=a^x與y=log_ax關于y=x對稱，
則函數y=a^x的圖象不與直線y=x相交，
由（1）知，指數函數y=a^x的圖象與直線y=x相切時a為e 

1

e

，
則a的取值范圍為（e 

1

e

，+∞）．
故答案為：e 

1

e

；（e 

1

e

，+∞）．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及對數方程的求解，屬于中檔題．