Question

（本小題滿(mǎn)分14分）

(1)　證明：當(dāng)時(shí)，不等式成立；

(2)　要使上述不等式成立，能否將條件“”適當(dāng)放寬？若能，請(qǐng)放寬條件并簡(jiǎn)述理由；若不能，也請(qǐng)說(shuō)明理由；

 (3)請(qǐng)你根據(jù)⑴、⑵的證明，試寫(xiě)出一個(gè)類(lèi)似的更為一般的結(jié)論，且給予證明．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見(jiàn)解析；

（2）∵　對(duì)任何且，式子與同號(hào)，恒成立，

∴　上述不等式的條件可放寬為且．

根據(jù)（1）（2）的證明，可推廣為：若且，，，

則有　．

證明：見(jiàn)解析。

【解析】(1)證明易采用作差比較，然后對(duì)差值分解因式，再判斷每個(gè)因式的符號(hào)，從而確定差值符號(hào).

（2）根據(jù)（1）先觀(guān)察成立時(shí)應(yīng)具體什么條件，然后再采用作差比較法進(jìn)行證明.

（1）證明：左式－右式＝,

∵　　　，　

∴，

∴　　不等式成立．

（2）∵　對(duì)任何且，式子與同號(hào)，恒成立，

∴　上述不等式的條件可放寬為且．

根據(jù)（1）（2）的證明，可推廣為：若且，，，

則有　．

證明：左式-右式

．

 若，則由不等式成立；

 若，則由不等式成立.

∴　綜上得：　　若　且，，，

則有　成立．

注：（3）中結(jié)論為：若且，，

則有　也對(duì)．