Question

（2013•茂名一模）已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1   (a＞b＞0)的離心率為

3

3

，連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為2

6

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）設O為坐標原點，取C₂上不同于O的點S，以OS為直徑作圓與C₂相交另外一點R，求該圓面積的最小值時點S的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率、參數a、b、c的關系及菱形的面積計算公式即可得出；
（2）利用線段的垂直平分線、拋物線的定義即可得出；
（3）利用向量的垂直與數量積的關系、基本不等式的性質、二次函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）由題意可知

c a = 3 3 a2=b2+c2 1 2 ×2a×2b=2 6

解得

a= 3 b= 2 c=1

所以橢圓C₁的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）∵|MP|=|MF₂|，∴動點M到定直線l₁：x=-1的距離等于它到定點F₂（1，0）的距離，
∴動點M的軌跡C₂是以l₁為準線，F₂為焦點的拋物線，
所以點M的軌跡C₂的方程y²=4x．
（3）∵以OS為直徑的圓C₂相交于點R，∴以∠ORS=90°，即

OR

•

RS

=0．
設S （x₁，y₁），R（x₂，y₂），

SR

=(x2-x1，y2-y1)，

OR

=(x2，y2)．
∴

OR

•

SR

=x₂（x₂-x₁）+y₂（y₂-y_1）=

y 2 2 ( y 2 2 - y 2 1 )

16

+y2(y2-y1)=0，
∵y₁≠y₂，y₂≠0，化簡得y1=-(y2+

16

y2

)，
∴

y

2 1

=

y

2 2

+

256

y 2 2

+32≥2

y 2 2 • 256 y 2 2

+32=64，
當且僅當

y

2 2

=

256

y 2 2

，即

y

2 2

=16，y₂=±4時等號成立．
圓的直徑|OS|=

x 2 1 + y 2 1

=

y 4 1 16 + y 2 1

=

1

4

y 4 1 +16 y 2 1

=

1

4

( y 2 1 +8)2-64

，
∵

y

2 1

≥64，∴當

y

2 1

=64，y₁=±8，|OS|min=8

5

，
所以所求圓的面積的最小時，點S的坐標為（16，±8）．

點評：熟練掌握圓錐曲線的定義及其性質、線段的垂直平分線、菱形的面積計算公式、向量的垂直與數量積的關系、基本不等式的性質、二次函數的單調性是解題的關鍵．