Question

已知a、b、c是成等比數(shù)列的三個(gè)正數(shù)，且公比不等于1，試比較a+c與2b，a²+c²與2b²、a³+c³與2b³，…的大小，由此得出什么一般性結(jié)論？并證明之．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)推斷b²=ac，進(jìn)而根據(jù)均值不等式可推斷出a+c≥2=2b，進(jìn)而q≠1推斷出等號不成立，進(jìn)而可推斷出a+c＞2b，同理可推斷出a²+c²＞2b²、進(jìn)而推斷出一般性結(jié)論aⁿ+cⁿ＞2bⁿ、根據(jù)a、b、c是成等比數(shù)列，判斷出aⁿ、bⁿ、cⁿ是成等比數(shù)列，進(jìn)而利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)b²ⁿ=aⁿcⁿ，進(jìn)而根據(jù)均值不等式求得aⁿ+cⁿ≥2=2bⁿ，q≠1推斷出等號不成立，進(jìn)而原式得證．
解答：解：∵a、b、c是成等比數(shù)列的三個(gè)正數(shù)
∴b²=ac
∵a+c≥2=2b，
∵q≠1，∴a≠c
∴a+c＞2b
∵a、b、c是成等比數(shù)列的三個(gè)正數(shù)
∴a²、b²、c²是成等比數(shù)列
同理可知a²+c²＞2b²、
推斷出一般性結(jié)論aⁿ+cⁿ＞2bⁿ、
證明：∵a、b、c是成等比數(shù)列，
∴aⁿ、bⁿ、cⁿ是成等比數(shù)列
∴b²ⁿ=aⁿcⁿ，
∵aⁿ+cⁿ≥2=2bⁿ，
∵a≠c，∴aⁿ≠cⁿ
∴aⁿ+cⁿ＞2bⁿ，
原式得證．
點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．