Question

已知△ABC中，三內角A、B、C的度數成等差數列，邊a、b、c依次成等比數列．求證：△ABC是等邊三角形．

Answer 1

分析：先確定B的度數，再利用a、b、c依次成等比數列，及余弦定理，即可證得結論．

解答：證明：∵三內角A、B、C的度數成等差數列
∴2B=A+C，
∵A+B+C=180°，
∴B=60°，（3  分）
∵a、b、c成等比數列，∴b²=ac（6  分）
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

=

1

2

9  分
∴（a-c）²=0，∴a=c（12分）
∵B=60°
∴△ABC為等邊三角形．（13分）

點評：本題考查余弦定理，考查等差數列與等比數列的綜合，解題的關鍵是確定角與邊的關系．