Question

如圖，動物園要圍成相同的長方形（無蓋）虎籠四間，一面可以用原有的墻，其他各面用鋼絲網圍成．
（1）若使每間虎籠面積為24m²，則每間虎籠的長和寬各設計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼絲網總長度最小？
（2）若現有36m長鋼絲網，則每間虎籠的長和寬各設計為多少時，可使每間虎籠的面積最大？

Answer 1

分析：（1）設每間虎籠長為x米，寬為 y米，每間虎籠的面積為S，則由條件知S=xy=24，利用基本不等式求4x+5y的最小值．
（2）設每間虎籠長為x米，寬為 y米，則由條件知4x+5y=36，設每間虎籠的面積為S，則利用基本不等式求S=xy的最大值．

解答：解：（1）設每間虎籠長為x米，寬為 y米，每間虎籠的面積為S，則由條件知S=xy=24．
設鋼筋網總長為l，則l=4x+5y≥4×2

xy

=16

6

≥2

20xy

=8

30

當且僅當4x=5y，即x=

30

，y=

4

5

30

時等號成立．
故每間虎籠長

30

m，寬

4

5

30

m，可使鋼筋網總長最小．
（2）設每間虎籠長為x米，寬為 y米，則由條件知4x+5y=36，設每間虎籠的面積為S，則S=xy．
根據4x+5y=36≥2

20xy

，∴S≤

81

5

，當且僅當4x=5y，即x=

9

2

，y=

18

5

時等號成立．
故每間虎籠長為4.5 m，寬為3.6 m時，可使面積最大．

點評：本題以實際問題為載體，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是尋求每間虎籠長與寬的關系，進而利用基本不等式．