Question

設函數y=f（x）在（-∞，+∞）內有意義．對于給定的正數k，已知函數fk(x)=

f(x)，f(x)≤k k，f(x)＞k

，取函數f（x）=3-x-e^-x．若對任意的x∈（-∞，+∞），恒有f₁（x）=f（x），則k的最小值為

2

．

Answer 1

分析：根據新定義的函數建立f_k（x）與f（x）之間的關系，通過二者相等得出實數k滿足的條件，利用導數或者函數函數的單調性求解函數的最值，進而求出k的范圍，進一步得出所要的結果．

解答：解：由題意可得出k≥f（x）_最大值，
由于f′（x）=-1+e^-x，令f′（x）=0，e^-x=1=e⁰解出-x=0，即x=0，
當x＞0時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
故當x=0時，f（x）取到最大值f（0）=3-1=2．
故當k≥1時，恒有f_k（x）=f（x）．
因此K的最小值是2．
故答案為：2．

點評：本題考查學生對新定義型問題的理解和掌握程度，理解好新定義的分段函數是解決本題的關鍵，將所求解的問題轉化為求解函數的最值問題，利用了導數的工具作用，體現了恒成立問題的解題思想．