Question

如圖所示，一科學考察船從港口O出發，沿北偏東α角的射線OZ方向航行，而在離港口（a為正常數）海里的北偏東β角的A處有一個供給科考船物資的小島，其中，．現指揮部需要緊急征調沿海岸線港口O正東m（）海里的B處的補給船，速往小島A裝運物資供給科考船，該船沿BA方向全速追趕科考船，并在C處相遇．經測算當兩船運行的航向與海岸線OB圍成的三角形OBC的面積最小時，這種補給最適宜．
（1）求S關于m的函數關系式S（m）；
（2）應征調m為何值處的船只，補給最適宜．

Answer 1

【答案】分析：先以O為原點，正北方向為軸建立直角坐標系．
（1）先求出直線OZ的方程，然后根據β的正余弦值和OA的距離求出A的坐標，進而可以得到直線AB的方程，然后再與直線OZ的方程聯立求出C點的坐標，根據三角形的面積公式可得到答案．
（2）根據（1）中S（m）的關系式，進行變形整理，然后利用基本不等式求出最小值．
解答：解：以O為原點，正北方向為軸建立直角坐標系，直線OZ的方程為y=3x①，
（1）設A（x，y），∵cosβ=，∴sinβ=，
則x=asinβ=3a，y=acosβ=2a，∴A（3a，2a）．
又B（m，0），則直線AB的方程為y= （x-m） ②
由①、②解得，C（，），
∴S（m）=S_△OBC=|OB||y_c|=×m×=（m＞a）．
（2）S（m）==a[（m-a）++a]≥
當且僅當m-a=，即m=時，等號成立，
故當m=海里時，補給最適宜．
點評：本題考查解三角形的實際應用、三角形的面積公式、基本不等式的應用，解題的關鍵是函數的建模思想和轉化思想．