Question

已知函數f（x）=3ax²+2bx+b-a（a，b是不同時為零的常數）．
（1）當a=

1

3

時，若不等式f（x）＞-

1

3

對任意x∈R恒成立，求實數b的取值范圍；
（2）求證：函數y=f（x）在（-1，0）內至少存在一個零點．

Answer 1

分析：（1）把a=

1

3

代入，問題可化為x²+2bx+b＞0對任意x∈R恒成立，可得△=（2b）²-4b＜0，解之即可；
（2）易證當a=0，b≠0時，符合題意；當a≠0時，二次函數f（x）=3ax²+2bx+b-a的對稱軸方程為x=-

b

3a

，分①-

b

3a

≤-

1

2

，②-

b

3a

＞-

1

2

借助于零點的存在性定理來證明即可．

解答：解：（1）當a=

1

3

時，f（x）=x²+2bx+b-

1

3

，
問題可化為x²+2bx+b＞0對任意x∈R恒成立，
故可得△=（2b）²-4b＜0，解得0＜b＜1
（2）證：當a=0，b≠0時，f（x）=2bx+b的零點為-

1

2

∈（-1，0），
當a≠0時，二次函數f（x）=3ax²+2bx+b-a的對稱軸方程為x=-

b

3a

，
①若-

b

3a

≤-

1

2

，即

b

a

≥

3

2

時，f（-

1

2

）f（0）=（-

1

4

a）（b-a）=（-

1

4

a2）（

b

a

-1）＜0，
所以函數y=f（x）在（-1，0）內至少存在一個零點，
②-

b

3a

＞-

1

2

，即

b

a

＜

3

2

時，f（-1）f（-

1

2

）=（2a-b）（-

1

4

a）=（-

1

4

a2）（2-

b

a

）＜0
所以函數y=f（x）在（-1，0）內至少存在一個零點，
綜上可得：函數y=f（x）在（-1，0）內至少存在一個零點．

點評：本題考查函數零點的判斷，涉及分類討論的數學，屬基礎題．